<<
>>

Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"

Рассмотрим основные положения теории катастроф на при­мере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференци­альное уравнение

dx/dt = -х3 +Ьх+а. (13.1)

При варьировании значений параметров а и & поведение сис­темы (число стационарных точек, их расположение) будет так­же меняться.

Для изучения качественного характера этих изме­нений рассмотрим потенциальную функцию

F(x,a,b) = х4 /4 - bx2 /2 - ах.

Заметим, что -dF/дх = -х* +bx+a. Ha рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.

На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кри­вая (4Ь3 - 27а2). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две час­ти. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один мини­мум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функ­ции F можно определить, приравняв нулю первую производную:

х3-Ьх-а = 0. (13.2)

Целесообразно также провести исследование функции г, по­строив серию графиков при фиксированных значениях у из ин­тервала (-5;5).

Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазо­вого портрета на плоскости являются положения равновесия и пре­дельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения рав­новесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый порт­рет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений парамет­ров происходит бифуркация — меняется топологическая струк­тура фазового портрета. Качественное исследование динамичес­кой системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества би­фуркационных значений параметров.

Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение рав­новесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех — неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.

Если в процессе изменения системы параметр подходит к би­фуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равнове­сия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Ситуация возникновения предельного цикла может быть про­иллюстрирована следующей системой уравнений:

\dr/dt = Kr-r3; (135) [dy/dt = с,

где с — константа, гиф — полярные координаты (х = rcos ср; j/ = rsintp). Если А, < О, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и стано­вится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фо­кус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >/Х [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,

что независимо от начального состояния система достаточно бы­стро перейдет в режим периодических колебаний (автоколеба­тельный режим).


Рис. 13.3. Рождение цикла

Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными цикла­ми. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается ус­тойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго вариан­та при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равнове­сия — фокусу (рис. 13.4).

Рис. 13.4. Гибель цикла

В первом варианте после потери устойчивости положения рав­новесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система ухо­дит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчиво­сти) и переходит на другой режим движения [1].

Множество точек, к которым притягиваются траектории авто­номных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов — особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-

личины с течением времени выходят на постоянные значения, во втором — на периодический режим.

При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возмож­но возникновение странных аттракторов.

<< | >>
Источник: Ю.М. Плотински. Модели социальных процессо. 2001 {original}

Еще по теме Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка":

  1. 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"
  2. Глава 13. Модели хаоса и катастроф
  3. 11.1. Модели теории катастроф
  4. "Часовое" и "целевое" время
  5. Глава 4 Шесть способов поднять ваш "КЭ"
  6. "Мягкие" и "твердые" данные
  7. Глава 27 "В такой дом хочется возвращаться"
  8. Глава 12 Как стать счастливой "перекати-поле"
  9. ГЛАВА ПЕРВАЯ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СИЛА "Я"
  10. Глава 22 "Она была так мила"