<<
>>

13.2. Портреты хаоса

Для того чтобы интуитивно понять основные концепции тео­рии хаоса, не обязательно штудировать тома математической ли­тературы. Достаточно провести несколько экспериментов, доступ­ных любому студенту, знакомому с основными возможностями электронных таблиц (см.
§ 12.1).

Исследуем поведение решений следующего логистического раз­ностного уравнения:

Здесь предполагается, что емкость рынка равна 1, поэтому О < xt< < 1, т.е. xt — это доля рынка, завоеванная новинкой к моменту t; h — параметр управления [7].

Исследуем поведение системы (13.6) с помощью Excel, но не­сколько модифицируем схему вычислений. Столбец А сформи­руем так же, как и в § 12.1, параметр А, запишем в ячейку Cl. Сформируем вспомогательный столбец В, равный столбцу А, но со сдвигом на одну ячейку вниз (табл. 13.1).

Таблица 13.1. Фрагмент окна Excel

А

В

С

1

0,85

О

1,8

2

»CS1*A1* (1-Al)

= Al

В данной таблице в ячейку Al введено начальное значение Jc1 = = 0,85, в ячейку Bl записан О, а в ячейке Cl будет хранить­ся значение параметра X. В ячейке А2 записана рекуррентная формула логистического уравнения, а в ячейке В2 указывается, что значение числа следует взять из предыдущей строки столбца А. Выделим ячейки А2 и В2. Затем размножим формулы в этих ячейках вниз до строки 60.

Построим график поведения решения уравнения (13.6) так же, как это делалось в § 12.1. Построим еще один график, отра-

жающий поведение системы в фазовой плоскости (у,х) — в дан­ном случае (xt+l, xt). Для этого выделим 60 строк в столбцах А и В. Вызовем меню "мастер диаграмм". Выберем тип диаграммы (Точечная), и в раскрывшейся галерее выберем вариант диаг­раммы со значениями, соединенными сглаживающими линия­ми. Полученный график поместим под ранее построенной диа­граммой. Теперь изменения в поведении системы будут видны одновременно в двух вариантах графиков.

Изменим поведение системы (13.6), варьируя значения управ­ляющего параметра в интервале от О до 4. При этом система демонстрирует три различных типа поведения: 1) стремление к состоянию равновесия; 2) периодические колебания; 3) хаос.

При значении А, от О до 3 система стремится к равновесному стабильному положению (пример на рис. 13.5). Посмотрите, как ведут себя графики при А. = 0,5; 1,8; 2,2; 2,6. При А, < 1 наступа­ет положение равновесия: х*= О. При 1< А,< 3 система стремится к стационарному состоянию: х*=1 - (1/А.). Полезно при фикси­рованном А. поэкспериментировать с разными начальными состоя­ниями (JC1).

Рис. 13.5. Стремление к состоянию равновесия (А. = 2,2)

Периодические колебания охватывают систему при А, > 3. Качественное изменение поведения системы говорит о том, что 1 = 3 является точкой бифуркации — положение равновесия сме-аяется предельным циклом. Зададим А, = 3,2 и увидим, что до­вольно быстро система переходит к колебаниям с периодом 2 (в столбце А остаются только два чередующихся значения) (при­мер на рис.

13.6). Постепенно увеличим значение А. = 3,3; 3,4; 3,5. При А, = 3,5 период колебаний равен 4 — произошло удвое-trae периода. При А. = 3,567 появляется цикл с периодом 8. При

дальнейшем росте X появляются циклы с периодом 32, 64, 128, 256 и т.д. [7].

В хаотический режим система попадает при \ e (3,8;...4) (рис. 13.7). Поведение системы становится апериодическим, не вид­но какой-либо закономерности. Поведение кажется случайным, подверженным непредсказуемым внешним воздействиям. На са­мом деле это загадочное поведение полностью определено детер­минированным законом функционирования системы (13.6). Но прогнозировать поведение системы в состоянии хаоса на длитель­ный период времени невозможно. Хаотическое поведение слиш­ком чувствительно к изменению исходных данных. Изменение X1 на одну миллионную может существенно изменить ход решения.


Рис. 13.6. Колебания с периодом 2 (X = 3,2)


Рис. 13.7. Хаотический режим (X = 3,9)

Качественное изменение режимов функционирования системы удобно наблюдать в фазовой плоскости. В варианте сходимости к

положению равновесия решения стремятся к одной точке. Для ко­лебаний с периодом 2 аттрактором является цикл, состоящий из двух точек. Значительно более запутанная картина возникает в случае хаотического режима. Рассмотрим несколько вариантов гра­фика. Для этого следует отредактировать диаграмму, щелкнув по ней правой кнопкой мыши. Появится контекстное меню, в кото­ром следует выбрать опцию "Тип диаграммы". Появится галерея вариантов графика. Выберем вариант даграммы без маркеров и уви­дим типичную картинку странного аттрактора (рис. 13.8).

Рис. 13.8. Хаотический режим в фазовой плоскости (X = 3,9)

Теперь уберем лишние линии, выбрав первый вариант гра­фика, и перед нами окажется портрет таинственного странного аттрактора (рис. 13.9). Именно по этому множеству точек хао­тично "скачет" исследуемая система. И ее можно понять — в данном случае странный аттрактор имеет вполне притягатель­ную параболическую форму.

Поэкспериментируйте с различными исходными данными и понаблюдайте за эволюцией странного аттрактора. Убедитесь, что в хаосе тоже существует своего рода порядок.

Еще менее устойчивым становится поведение систем при учете эффекта запаздывания. Рассмотрим следующий вариант логи­стического уравнения:

В этом случае состояние системы в момент t + 1 зависит не только от xt , но и от X1^. Вспоминая, как исследуются такие модели (см. задачу Фибоначчи в § 12.1), составим вычислитель-

ную модель (аналогично предыдущему случаю). Оказывается, сис­тема (13.7) имеет положение равновесия только при О < А, < 2. При А. = 2 происходит бифуркация и появляется предельный цикл. При А> 2,27 поведение системы перестает быть стабильным [5,6].

» » »

Что же дает социологу исследование нелинейных моделей со­циальных систем? Проведение вычислительных экспериментов по­зволяет определить границы параметров, при которых система устойчиво демонстрирует стабильное поведение. Даже если сис­тема оказалась в состоянии хаоса, исследование формы странно­го аттрактора может дать полезную информацию.

Результаты последних лет позволяют надеяться, что и хао­тическими ситуациями можно научиться управлять. Используя чувствительность хаотических режимов, в некоторых случаях уда­ется легко перейти на стабильные траектории развития [7].

Задачи и упражнения

1. Исследуйте поведение системы, описываемой следующим нели­нейным разностным уравнением:

В качестве начального значения X1 возьмите все более точные зна­чения л/4. При X1 — 0,7 у системы появится предельный цикл с перио­дом 2, при Jr1 = 0,78 — цикл с периодом 10 и т.д. Задав X1 = л/4, по-

259

лучим хаотический режим [3]. Учтите, что в Excel число п задается функцией = ПИ ( ), а модуль числа х записывается как ABS(X).

2. Попробуйте варьировать значения параметров модели из задачи 1.

3. Проведите вычислительные эксперименты с разностными анало­гами системы Лотки—Вольтерра, варьируя типы взаимодействий.

4. Исследуйте разностное уравнение X1^1 = 3,6 xt - *(2при О < X1 < 3,6. Имеет ли система хаотический режим?

5. Исследуйте разностное уравнение с запаздыванием:

о появлении новых универсальных моделей реальности [1], созда­ны даже машины клеточных автоматов — приставки к ЭВМ, суще­ственно ускоряющие процесс моделирования [5].

В данной главе читатель познакомится с тем, как строить реалистические модели социальных процессов и, главное, как их можно без особых усилий реализовать с помощью обычных электронных таблиц (в данном случае Excel). После этого про­цесс исследования модели сводится к изучению последователь­ности картинок, получаемых нажатием одной кнопки.

Клеточными автоматами принято называть сети из элемен­тов, меняющих свое состояние в дискретные моменты времени [3]. Чаще всего рассматриваются двумерные клеточные автоматы, эле­ментом которых является один квадрат (например, на листе бума­ги в клетку). Каждый автомат или клетка может находиться в конечном числе состояний, в простейшем случае в двух — черное или белое, жизнь или смерть, 1 или О. Время в модели задается дискретным множеством тактов (t = 1, 2, 3,...). Система клеточных автоматов, как правило, функционирует в некотором замкнутом пространстве (например, в квадратной решетке 1Ox 10 или 10Ox 100). Состояние автомата в момент t + 1 определяется его состоянием и состоянием его ближайших соседей в предыдущий момент t.

В моделях клеточных автоматов среда обычно предполагает­ся однородной, т.е. правило изменения состояний для всех кле­ток одинаковы. Если это правило не зависит от случайных фак­торов, то автомат называется детерминированным, если зависит — то стохастическим.

Рассматриваются также клеточные автоматы с памятью. В этом случае состояние элемента в момент t + 1 зависит от состояния системы в моменты t и t - 1 (таким образом учитывается эффект запаздывания).

Одним из наи­более важных по­нятий теории клеточных авто­матов является понятие окрест­ности, т.е. мно­жества клеток, которые считают­ся "соседними" с данной клеткой. На рис. 14.1 при-

261

ведены два наиболее распространенных типа окрестности авто­мата, расположенного в заштрихованной клетке.

Для того чтобы дальнейшее изложение не показалось читате­лю чересчур абстрактным, приведем пример моделирования про­цесса расовой сегрегации [9].

Предположим, что исследуемый регион может быть представ­лен решеткой 16x13, где каждая клетка соответствует одному дому. Предположим также, что каждый дом может быть занят белой (о) или черной (х) семьей, либо остаться пустым. В данной модели у каждого клеточного автомата есть три возможных со­стояния, а общее число состояний модели составит примерно 10".

В рассматриваемом примере предполагается, что каждая ра­совая группа предпочитает иметь определенный процент соседей с тем же цветом кожи. Если это условие не выполняется, то се­мья перебирается в ближайший дом, где процентный состав со­седей является приемлемым. Считается, что разумный выбор можно сделать, если в данном по­селении 25-30% домов не засе­лены. Начальная структура рас­селения приведена на рис. 14.2. В [9] рассматривались два правила поведения жителей, оце­нивающих процент приемлемых соседей (использовалась окре­стность Мура):

1) не менее половины соседних домов должны быть заселены представителями той же расы;

2) не менее трети соседей принадлежат той же расе.

На рис. 14.3,а приведен результат моделирования при исполь­зовании первого правила. Как видно из рисунка, в модели посте­пенно происходит процесс разделения региона на несколько ра-сово-однородных областей.

Результат моделирования с менее жестким вторым правилом демонстрирует неструктурированный вариант расселения, близ­кий к начальному состоянию (рис. 14.3,6).

Так что же произошло с исследуемой системой? Руководству­ясь только локальными правилами поведения (1), задаваемыми на микроуровне каждой семьи без какого-либо централизован­ного руководства и сговора, процесс переселения стихийно само-

организовался, и в результате спонтанно родилась достаточно четкая структура расселения (см. рис. 14.3, а).

Приведенный чрезвычайно упрощенный пример показывает, что клеточное моделирование дает в руки исследователя мощ­ный инструмент для изучения процессов социальной самоорга­низации. Анализ поведения клеточных автоматов показал, что их эволюция во многом аналогична динамике сложных нели­нейных систем, рассмотренных в гл. 12 и 13. Выделяют четыре основных класса автоматов [3]:

1. Независимо от начального состояния за конечное число шагов происходит переход к однородному состоянию — все авто­маты оказываются в состоянии покоя.

2. В процессе эволюции автомат приходит к локализованным стационарным или периодическим решениям.

3. Картины активности системы автоматов являются аперио­дическими — никогда не повторяются. Можно сказать, что авто­маты демонстрируют хаотическое поведение.

4. Динамика автоматов существенно зависит от начального со­стояния. Подбирая различные начальные состояния, можно по­лучать самые разнообразные конфигурации и типы поведения.

Примером автомата четвертого типа является игра "Жизнь", изобретенная математиком из Кембриджского университета Дж. Конвеем. Название связано с тем, что возникающие в процессе игры ситуации аналогичны реальным процессам зарождения, раз­вития и гибели колоний живых организмов. Основная идея игры заключается в том, чтобы, начав с произвольно заданного исход­ного положения, проследить за эволюцией исходной позиции под действием "генетических законов" Конвея, которые управляют ро­ждением, гибелью и выживанием "организмов".

263

Игра проводится на бесконечной плоской решетке квадрат­ных клеток и состоит из шагов, соответствующих дискретному времени (t = 1, 2, ... ). Один ход в игре — это переход из состоя­ния t в состояние t +1. Каждая клетка может быть "живой" или "мертвой". Изменение состояния клетки в момент t+l однозначно определяется состоянием ее соседей в предыдущий момент t. У каждой клетки восемь соседей, из которых четыре имеют с ней общие ребра, а четыре общие вершины.

Назовем "потенциалом" клетки — число живых соседей, ис­пользуя определение окрестности по Муру. Тогда генетические законы Конвея, определяющие поведение каждой клетки, сво­дятся к следующим правилам:

• если потенциал равен 2, то состояние клетки не меняется;

• если потенциал равен 3, то клетка в следующий период будет живой независимо от текущего состояния;

• при остальных значениях потенциала (О, 1, 4, 5, 6, 7) клет­ка в следующий период будет мертва.

Таким образом, если у клетки более трех живых соседей, то она погибает от перенаселенности. Клетка погибает от одиночества, ес­ли жива только одна соседняя клетка или все соседние клетки мерт­вы. Выживает и переходит в следующее поколение клетка, имею­щая двух или трех живых соседей.

Имея под рукой лист бумаги в клетку, читатель может убе-диться, что любая начальная популяция претерпевает необычные и неожиданные изменения. Некоторые первоначальные колонии организмов постепенно вымирают, однако большинство исход­ных конфигураций либо переходит в стационарные структуры, не зависящие от времени, либо наступает колебательный режим.

Читатель может также легко убедиться, что конфигурации, изображенные на рис. 14.4, а, погибают на втором ходу, тогда как три конфигурации на рис. 14.4, б являются стационарными (эти конфигурации имеют названия: левая —"блок", централь­ная —"бадья", правая —"змея").

На рис. 14.4, в изображена эволюция конфигурации, назы­ваемой "мигалкой" или "семафором"; ее цикл равен 2. Еще два примера циклических конфигураций с периодом 2 приведены на рис. 14.4, г. Больший период (соответственно 4 и 5) имеют кон­фигурации, изображенные на рис. 14.4, д и е. Построены конфи­гурации, имеющие значительно больший период колебаний.

После первых публикаций в популярных изданиях M. Гардне­ра, посвященных игре "Жизнь", произошел взрыв энтузиазма среди пользователей ЭВМ. Затраты машинного времени на исследова-

264

ние различных вариантов игры составили миллионы долларов. Были выявлены многочисленные замечательные конфигурации, одна из которых, называемая "планер" (глайдер), приведена на рис. 14.4, ж. Через каждые четыре шага планер повторяет себя, смещаясь на одну клетку вниз и вправо, т.е. движется по диаго­нали. Найдены конфигурации, которые могут двигаться по пря­мой. В 1970 г. обнаружена конфигурация "катапульта", которая через каждые 30 шагов повторяет себя и "выстреливает" планер.

В процессе исследований выяснилось, что с помощью игры "Жизнь" можно не только изучать процессы эволюции, но и моде­лировать основные компоненты современных ЭВМ, исследовать прообразы параллельно работающих ЭВМ, решать задачи распо­знавания образов.

Данная ветвь синергетики относится к теории коллективного поведения автоматов [3], но все-таки наибольший интерес иссле­дователей привлекают проблемы самоорганизации в биологичес­ких системах, формализованных на языке динамических систем.

Игра "Жизнь" была популярна в 70—80-е годы, а в 90-е годы появилось новое популярное развлечение — игра "Ант" (термит), изобретенная американским математиком К.Лангтоном [6]. Кле­точный автомат в этой игре может иметь два состояния — чер-

265

ное и белое. Игра происходит на поле из квадратных клеток, которые в начальном состоянии все имеют белый цвет.

Ант стартует с центральной клетки в некотором выбранном направлении, например на Восток, переходит на соседний квад­рат и смотрит: если этот квадрат черный, то Ант красит его в белый цвет, а сам поворачивает налево на 90°. Если квадрат ока­жется белым, то Ант делает его черным и поворачивает направо на 90° и т.д.

Оказывается этот примитивный автомат демонстрирует очень сложное поведение. Пройдя приблизительно 500 шагов, он воз­вращается в центральную клетку, оставляя после себя ряд сим­метричных орнаментов. Но после примерно 10 000 шагов карти­на становится весьма хаотичной. Ант неожиданно начинает строить магистраль — повторяя цикл из 104 шагов, он формиру­ет диагональ, идущую на юго-запад. Интересно, что поведение автомата остается таким же, если в начальном положении име­ется много черных квадратов.

<< | >>
Источник: Ю.М. Плотински. Модели социальных процессо. 2001 {original}

Еще по теме 13.2. Портреты хаоса:

  1. 13.2. Портреты хаоса
  2. Глава 13. Модели хаоса и катастроф
  3. 11.2. Синергетика и теория хаоса
  4. Логика хаоса.
  5. 5.4.4. Гармония из хаоса
  6. 5.6. ВЛАСТЬ ХАОСА
  7. Словесный портрет
  8. ПОРТРЕТЫ ТИПИЧНЫХ «НЕСЧАСТНЫХ»
  9. Психологический портрет в правоохранительной деятельности.
  10. 8.4. Психологический портрет и его составление
  11. Психологический портрет
  12. Прием структуризации психологического портрета.
  13. Чтобы продвинуться в своем развитии, мужчине надо получить то, что ему нужно, не создавая при этом хаоса в своей жизни и не причиняя вреда тем, кого он любит.
  14. Глава 2 Поисковый психологический портрет серийного преступника