<<
>>

12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона

Рассмотрим следующую ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Первая страна ("желтые") вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны с соседней враждебной стра­ной ("зеленые").
В свою очередь "зеленые", зная о росте затрат на вооружение у "желтых", также увеличивают расходы на воо­ружение. Предположим, что каждая страна изменяет скорость роста (сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. Математически эта ситуация может быть смоделирована

следующим образом. Пусть x(t) — расходы на вооружение "жел­тых" к моменту t >0, y(t) — то же, но "зеленых". Тогда простей­шая модель гонки вооружений может быть сформулирована в виде системы двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

где а и Ъ — положительные константы. Эти уравнения описывают положительную обратную связь.

Модель (12.16) имеет очевидный недостаток: рост затрат на воо­ружение ничем не лимитируется. Естественно предположить, что чем больше текущий уровень затрат на оборону, тем меньше ско­рость его роста (отрицательная обратная связь). Получаем сле­дующую систему уравнений:

где а, Ъ,т,п — положительные константы.

Рассмотрим третий постулат, включенный Л. Ричардсоном в модель: государство наращивает вооружение, руководствуясь своими державными притязаниями и враждебностью к другим государствам, даже если другие страны не угрожают существо­ванию данного государства. Обозначим соответствующие коэф­фициенты претензии через г и s (г>0 и s>0). Если г 0 (< O), то точка движется вверх (вниз).

Рис. 12.7. Геометрическая интерпретация уравнения (12.22): а — при г > О; б — при г < О

Из школьного курса алгебры известно, что прямая G делит плоскость (х, у) на две полуплоскости. Для всех точек одной

Рис. 12.8. Точка равновесия в первом квадранте

полуплоскости dx/dt > О, а другой полуплоскости dx/dt < О. То есть первое уравнение системы (12.18) как бы заставляет точки притяги­ваться по горизонтали к прямой G. Аналогичное утверждение верно для второго уравнения этой системы и прямой Z (вертикальное притяже­ние) (рис. 12.8). Прямые G и Z де­лят первый квадрант на четыре об­ласти, обозначенные римскими цифрами I, II, III, IV.

Рассмотрим поведение модели Ричардсона при t —» °°. Воз­можны три случая:

1. Бесконечная гонка вооружений: д: —» °° и у —»°°.

2. Взаимное разоружение: х —»О, у —»О.

3. Равновесие вооружений: х -» х*, у —»у*, где у*, х* > О. Точка равновесия (х*, у*) находится на пересечении прямых G [уравне­ние (12.2O)] и Z [уравнение (12.21)] (см. рис. 12.8).

Легко показать, что если г > О и s > О, то точка пересечения G и Z лежит в первом (см. рис. 12.8) или третьем (рис.

12.9) квад­ранте.

Стрелки на рис. 12.8-12.10 показывают горизонтальную и вер­тикальную составляющие движения точки, находящейся в той или иной области фазовой плоскости. В варианте, показаном на рис. 12.8, из любой начальной точки решение со временем прихо­дит в точку равновесия, достигается "баланс сил", причем незави­симо от начального уровня вооружений. Из рис. 12.9 видно, что если начальная точка попала в область II, то х -> °° и у -» со.



Рис. 12.9. Точка равновесия в третьем квадранте

Рис. 12.10. Поведение сис­темы при г < О или (и) s < О

Рассмотрим ситуацию, когда по меньшей мере один из коэффици­ентов г, s < О (рис. 12.10).

Если начальный уровень затрат, т.е. точка (X0, у0), находится в области I, то гонка вооружений будет бесконечной (х —> °°, у —»°°). Если начальная точка находится в области III, то решение систе­мы (12.18) также "уходит" от равновесия (х*, у*), но зато стремит­ся к точке (О, О) (взаимное разоружение).

Таким образом, наличие у одного или обоих государств "доброй воли" (г, s < О) не гарантирует удовлетворительного исхода гонки вооружений. Все зависит от начального состояния системы.

Очевидно, что поведение модели Ричардсона зависит от соот­ношения коэффициентов а, Ъ, т, п и знаков г, s. Читателю пред­лагается самостоятельно убедиться, что имеют место четыре воз­можных случая:

1. Если тп - ab > О, г > О, s > О, то существует точка равновесия.

2. Если тп - аЪ < О, г > О, s > О, то логика модели ведет к неограниченной эскалации гонки вооружений.

3. Если тп - аЪ > О, г < О, s < О, то гарантируется полное взаимное разоружение.

4. Если тп - ab < О, г < О, s < О, то пессимистичность или оптимистичность прогноза существенно зависит от начального состояния.

Для проверки своей достаточно упрощенной модели Ричард­сон собрал данные о гонке вооружений перед первой мировой вой­ной (1909-1913 гг.). Изучая противоборство двух блоков (х — Франция и Россия, у — Германия и Австро-Венгрия, расходы Анг­лии, Италии и Турции не учитывались), Ричардсон составил таб­лицу военных бюджетов для четырех стран (все затраты даны в миллионах фунтов стерлингов) (табл. 12.3).

Таблица 12.3. Расходы на вооружение

Страна

1909

1910

1911

1912

1913

Франция Россия Германия Австро-Венгрия

48,6 66,7 63,1 20,8

50,9 68,5 62,0 23,4

57 70 62 23

,1 ,7 ,0 ,4

63

81 68 25

,2 ,8 ,2 ,5

74,7 92,7 95,4 26,9

Сумма

199,2

204,8

214

,9

238

,7

289,0

Рост

5,6

10,1

23,8

50,3

Среднее за 2 года

202,0

209,8

226,8

263,8

Чтобы сравнить модель с реальными данными, Ричардсон предположил, что а = Ъ и т = п. Тогда уравнения (12.18) можно записать следующим образом:

dx/dt = ау-тх+г,

dy/dt = ax-my+s. Сложив эти два уравнения, получаем

d(x+y)/dt = (а— т)(х+у) + (r+s). Положим х+у — г, а-т = k, r+s = f, тогда

dz/dt = kz+f. (12.23) Общее решение этого уравнения записывается следующим об­ разом:

z(t) - (z0+f/k)e*> - f/k. (12.24)

где z — суммарные затраты на вооружение двух блоков; Z0 — начальное состояние.

Рассмотрим поведение решения (12.24) в зависимости от соот­ношения коэффициентов. Если а < /п, то k < О, следовательно, первый член правой части соотношения (12.24) стремится к нулю при t -»оо и решение асимптотически стремится к значению (-f/k).

Если а > т, то k > О и z(t) экспоненциально растет. На рис. 12.11 ось абсцисс соответствует суммарному военному бюджету Фран­ции, России, Германии и Австро-Венгрии в годы, предшествующие первой мировой войне (г). Ось ординат соответствует темпам роста расходов на вооружение (Az/A£).

Отмеченные на рис. 12.11 четы­ре точки соответствуют данным из табл. 12.3. Легко видеть, что все они лежат на одной прямой, что вполне соответствует соотношению (12.23), и, следовательно, модель Ричардсо­на достаточно достоверно описыва­ет рассматриваемую ситуацию.

Известный американский мате­матик T. Саати считает, что "при­веденная выше модель представля- Рис- 12.11. Скорость роста

затрат на вооружение

ется гораздо более убедительной, если вместо вооружений про­вести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагиру­ют на абсолютный уровень враждебности, проявляемый по отно­шению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они сами ис­пытывают. Примечательной чертой такой модели является точ­но выраженная зависимость уровня вооружений одной стороны от уровня вооружений другой. Это позволяет каждой стороне корректировать уровень собственных вооружений по реакции ее потенциальных противников на уровень ее вооружений в про­шлом" [13, с. 92].

Политологи установили, что для анализа большинства серь­езных международных конфликтов за последние 200 лет можно использовать модель Ричардсона. Оказалось, что из 30 конфлик­тов, сопровождавшихся гонкой вооружений, 25 закончились вой­ной. При отсутствии гонки вооружений только три из 70 кон­фликтов привели к войне.

Отметим, что гонка вооружений может закончится вполне мир­но в случае экономического краха одной из враждующих сторон. Аналогичные модели применялись для анализа динамики пред­выборных расходов и прогнозирования поведения участников аук­ционов.

<< | >>
Источник: Ю.М. Плотински. Модели социальных процессо. 2001 {original}

Еще по теме 12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона:

  1. 12.4. Модель гонки вооружений Ричардсона
  2. Психологические особенности задержания вооруженных правонарушителей.
  3. Задержание вооруженных правонарушителей, находящихся в укрытиях
  4. Система социально-педагогической работы в вооруженных силах Англии
  5. Задержание вооруженных правонарушителей, передвигающихся на транспорте в населенном пункте
  6. РАЗДЕЛ II. СОДЕРЖАНИЕ ВОСПИТАНИЯ ВОЕННОСЛУ- ЖАЩИХ ВООРУЖЕННЫХ СИЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  7. Задержание вооруженных правонарушителей в общественном месте
  8. Статья 260. Создание не предусмотренных законом военизированных или вооруженных формировании
  9. Модель личности журналиста: профессиональные, социально-гражданские, нравственные, психологические и социально-демографические характеристики. Модификация общей модели для разных специализаций (репортер, аналитик, расследователь, публицист, ведущий-модератор и т.п.).
  10. § 2. Основные направления использования зарубежного опыта социально-педагогической работы с военнослужащими в дея- тельности Вооруженных Сил Российской Федерации
  11. В Социально-реабилитационном центре с жилой зоной проживания для ветеранов войн и Вооруженных сил. (Реабилитация — воссоздание внутренней целостности)
  12. МОДЕЛЬ ИНФОРМАЦИОННАЯ
  13. 2. Полезная модель.
  14. Тема 6. Модели жизненного цикла
  15. МОДЕЛЬ ОБРАЗНО-КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ
  16. 3. Патентоспособность полезной модели
  17. 3. МОДЕЛИ ДЕМОКРАТИИ
  18. Модель SOAR
  19. Тема 7. Модели волновой динамики
  20. 4.1. Теории, и модели