<<
>>

12.2. Приложения теории разностных уравнений к моделям мобилизации

В теории разностных уравнений предполагается, что пере­менные исследуемого процесса определены в дискретные мо­менты J1, t2, ..., tn. Интервал времени At = ti+l - tt, как правило, предполагается постоянным для любого i (i = 1,..., п,...).
Целе­сообразность такого рассмотрения определяется исходными дан­ными о социальном процессе, которые часто измеряются в дис­кретные моменты времени (официальная статистика, периодические опросы, переписи и т.д.). Интервал времени мо­жет равняться пятилетке, году, кварталу, месяцу, неделе и т.д. Если интервал становится бесконечно малым (Д£ —> О), то про­цесс рассматривается как непрерывный и изучается с помощью теории дифференциальных уравнений.

Модель мобилизации. Под термином "политическая" или "со­циальная мобилизация" понимается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, обращение в какую-либо веру, учас­тие в данном движении (борьба за мир, экология, здоровье и т.д.). Текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняшних успе­хов пропагандистской кампании. Используя простейшую дина­мическую модель, попытаемся отразить логику изменений уров­ня мобилизации между двумя соседними моментами времени [23].

Обозначим через М{ долю мобилизованного населения в момент t, тогда доля немобилизованного населения равна 1 - M1. Пусть ДМ( обозначает изменение уровня мобилизации за единицу вре­мени (год, месяц и т.д.):

AM, = Mt+1 - M,

За время от t до t + 1 уровень мобилизации может измениться по двум причинам: 1) удалось дополнительно сагитировать часть населения g (1 - M ), где g — коэффициент агитируемости, кон­станта, не зависящая от времени; 2) часть населения, выбывающая из числа членов, участников, сторонников, равна fMt, где / — по­стоянный коэффициент выбытия (g > О, / > О). Параметры g и / выражают пропорции, в которых соответствующие части населе­ния меняют свое поведения на рассматриваемом отрезке времени.

Тогда уравнение процесса мобилизации можно записать сле­дующим образом:

Mm-Mt-e(l-M,)-/Mt. (12.5)

Уравнение (12.5) может быть преобразовано следующим об­разом:

M1+1 = g + (l-f-g)Mt, (12-6) т.е. приведено к виду

МM1920.

Рис. 12.2. Динамика голосующих за демократов на президентских выборах в Лэйк Кантри (1920-1968)

Сравнение графиков на рис. 12.2, а и б показывает, что раз­ностное уравнение достаточно хорошо описывает качественные характеристики процесса мобилизации. Ясно, что данная мо­дель является чрезвычайно упрощенной, реалистические моде­ли требуют учета большого числа факторов и нелинейных соот­ношений, однако для понимания поведения систем иногда достаточно изучить простые варианты модели.

12.3. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения содержат не только функции, но и их производные. Запишем разностные уравнения, рассмот­ренные в предыдущем параграфе, в следующем виде:


Здесь At = 1. Уравнение (12.11) связывает состояние дина­мической системы в двух точках: t и (t + At).

Перейдя в левой части этого уравнения к пределу при At —» О, получим

Уравнение (12.12) является дифференциальным, разрешен­ным относительно производной.

Будем рассматривать только функции времени M(t), хотя в общем случае это не обязательно. Отметим, что дифференциаль­ное уравнение в отличие от разностного описывает динамику по­ведения системы в каждой точке t. Уравнение (12Л2) функцио­нально связывает скорости изменения (производные по t) величин, характеризующих поведение системы, с самими величинами M(t).

Не отыскивая решения аналитически, в виде формулы, мож­но составить представление об общей картине этих решений на основе геометрического смысла уравнения (12.12). Напомним гео­метрический смысл производной dM/dt. B плоскости (M, t) для кривой M(t) величина dM/dt равна тангенсу угла наклона каса­тельной к кривой. Следовательно, зная зависимость dM/dt от переменных M, t, выраженную уравнением (12.12), можно най­ти направление касательной к кривой, являющейся графиком решения данного уравнения.

Рис. 12.3. Геометрическая ин­терпретация решений диффе­ренциального уравнения

Направление касательной можно показать на рисунке, проведя через любую точку (M,t) маленький отрезок прямой под углом ф так, что tgcp = /(M, t) (рис.12.3).

Если увеличить число точек, в которых проведено направле­ние касательной, то, как видно из рисунка, образуется множест­во кривых, являющихся решением дифференциального уравне­ния (12.12). Это уравнение имеет бесконечное множество решений, а через каждую точку (M0, tQ) плоскости проходит од­но решение. Таким образом, для того чтобы получить конкрет­ное решение уравнения, надо задать начальное условие (M0, t0).

Решением дифференциального уравнения называется функ­ция, которая, будучи подставлена в это уравнение, обращает его в тождество. Графики решения дифференциального уравнения на­зываются интегральными линиями этого уравнения. Рассмотрим несколько примеров.

Занимаясь вопросами наукометрии, В.В.Налимов сформули­ровал две модели развития науки [8]. В простейшей модели пред­полагается, что скорость роста числа публикаций пропорциональ­на их достигнутому числу:

dy/dt = ky, (12.13)

где у — число публикаций; k — константа. Решениями уравне­ния являются функции типа е', т.е. с увеличением времени t число публикаций растет экспоненциально.

Так как при t -» °° функция y(t) = е' принимает бесконечно боль­шие значения, модель (12.13) справедлива только на ограничен­ном временном интервале. Ясно, что при некотором t — t* меха­низм роста числа публикаций должен измениться. Для любого научного направления наступает этап насыщения (торможения).

Рассмотрим уравнение

dy/dt=ky(b-y), (12.14)

где k и Ъ — константы. Когда у увеличивается и становится сравнимым по величине с Ь, то (Ь-у) —> О и, следовательно, dy/ dt —» О, т.е. рост у прекращается.

Отметим, что данное логистическое уравнение является нели­нейным, так как его правая часть содержит у2.

В приведенных примерах динамическая модель описывается одним дифференциальным уравнением. Значительно более реали­стические модели можно получить, рассматривая совокупность уравнений.

Системой дифференциальных уравнений называется совокуп­ность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и

их производные. Решением системы дифференциальных урав­нений называется совокупность функций yt(t) (i=l, ..., п), кото­рые при подстановке в уравнения обращают их в тождества.

В данном учебном пособии рассматриваются системы диффе­ренциальных уравнений, содержащие столько уравнений, сколь­ко в них входит неизвестных функций, при этом все они являются функцией одной независимой переменной t.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следую­щего вида:

Отметим, что в правых частях уравнений переменная t в явном виде не содержится. Такие системы называются автономными динамическими системами второго порядка. Основная геомет­рическая интерпретация системы (12.15) связана с рассмотрени­ем плоскости (х, у), называемой фазовой плоскостью, и сущест­венно отличается от геометрической интерпретации, описанной выше. Ее можно назвать кинематической, так как в этой интер­претации каждому решению ставится в соответствие движение точки по кривой, а не кривая в пространстве.

Системы типа (12.15) используются для описания эволюци­онных процессов. Точка фазового пространства определяет со­стояние системы. Приложенный к этой точке вектор с коорди­натами dx/dt, dy/dt задает скорость изменения состояния. Точка, где этот вектор обращается в нуль, т.е. dx/dt=dy/dt=Q, называ­ется положением равновесия, или особой точкой системы.

Решения системы (12.15) будем изображать параметрически­ми кривыми на фазовой плоскости (х, у): х = ф(0, У = V(£). Со­поставим геометрическую интерпретацию системы (12.15) в про­странстве (x,y,t) с интерпретацией на фазовой плоскости.

1. В каждую траекторию фазовой плоскости проектируется совокупность интегральных кривых в пространстве (х, у, t). Эти кривые получаются друг из друга заменой t на t—C, где С — произвольная константа (рис. 12.4, а).

2. Если точка (а, Ъ) является состоянием равновесия системы (12.15) Р(а, Ь) = О; Q(a, b) = О, то интегральная кривая будет пря­мой, параллельной оси t. Эта прямая проектируется на плос­кость (х, у) в единственную точку (а, Ь).

3. Если система имеет периодическое решение с периодом а, то в пространстве (х, у, t) соответствующая интегральная кривая

Рис. 12.4. Поведение решений в пространстве (х, у, t) и на фазовой плос­кости

представляет собой спираль с шагом а. Эта спираль проектиру­ется на фазовую плоскость в замкнутую кривую (рис. 12.4, б).

При проекции спирали на плоскость (х, t) или (у, t) получим синусоидальную кривую, которая показывает изменение пере­менной x(t) или y(t).

Системы дифференциальных уравнений часто используются для описания работы технических устройств (механических, элек­трических и т.д.). Так как система дифференциальных уравнений имеет бесконечное множество решений (конкретное решение оп­ределяется начальными условиями), то и технические устройства (машины, механизмы) могут иметь бесконечное множество режи­мов. На практике эти устройства работают во вполне определен­ных режимах, что может объясняться выбором конкретных началь­ных условий и тем, что устройство само стабилизует свою работу.

Рассмотрим хрестоматийный пример стенных часов с маят­ником. Если маятник отклонить от вертикального положения достаточно сильно, то часы будут идти с определенной амплиту­дой колебаний очень долго. Если маятник отклонить недоста­точно сильно, то после небольшого числа колебаний он остано­вится. Таким образом, у данной динамической системы существуют два стационарных решения: периодическое решение, соответствующее нормальному ходу часов, и состояние равнове­сия — скорость маятника равна нулю. Всякое другое из беско­нечного множества решений быстро приближается к одному из двух стационарных решений, каждое из которых является ус­тойчивым в том смысле, что решение, не слишком сильно откло-

няющееся от стационарного в начальный момент, стремится к стационарному.

В окрестности особых точек фазовые траектории могут быть шести типов, схематично показанных на рис. 12.5 (стрелки на фа­зовой траектории указывают направление изменения параметра t).

На рис. 12.5 особая точка условно помещена в начало коор­динат. Траектории, которым принадлежит особая точка на рис. 12.5,д, называются сепаратрисами.

Рис. 12.5. Фазовые траектории в окрестности особой точки: а — устойчивый узел; б — неустойчивый узел; в — устойчивый фокус; г — неустойчивый фокус; д — "седло"

Классификация типов поведения фазовых кривых в окрестно­сти особой точки была осуществлена великим французским мате­матиком и философом Анри Пуанкаре (1854-1912), который ввел также понятие предельного цикла, играющее важнейшую роль в различных приложениях теории дифференциальных уравнений.

Предельным циклом дифференциального уравнения называ­ется изолированное периодическое решение этого уравнения (рис. 12.6). Для качественного исследования поведения дина­мической системы достаточно определить состояния равновесия, наличие предельных циклов, ход сепаратрис. С точки зрения

качественного исследования знание точной формы траекторий не пред­ставляет интереса.

Рис. 12.6. Предельный цикл

В настоящее время качественное изучение моделей эволюционных процессов стало доступно широко­му кругу пользователей благодаря наличию и стремительному совер­шенствованию соответствующего программного обеспечения (пакеты прикладных программ DYANA, STELLA, Mathcad, Mathlab, Mathematica и др.). Не составляет труда получить достаточно точное решение дифференциального уравне­ния с помощью Excel [6].

Вместо решения дифференциального уравнения можно иссле­довать его аналог — разностное уравнение. Последнее можно счи­тать приближенной моделью дифференциального уравнения. Сле­дует иметь в виду, что решения разностного уравнения часто ведут себя менее гладко, чем решения дифференциального урав­нения. В разностной модели учитывается поведение системы толь­ко на концах дискретных временных интервалов, тогда как диф­ференциальное уравнение описывает непрерывное течение процесса при каждом t.

При моделировании социальных процессов считается, что раз­ностные уравнения более точно описывают процессы, связанные с электоральным циклом [23]. Действительно, возвращаясь к моде­ли мобилизации из § 12.2, заметим, что процесс мобилизации можно считать дискретным, так как его действие проявляется в основном в период выборов.

Как будет показано в следующем параграфе, в простых слу­чаях качественный анализ поведения системы может быть про­делан без использования ЭВМ.

<< | >>
Источник: Ю.М. Плотински. Модели социальных процессо. 2001 {original}

Еще по теме 12.2. Приложения теории разностных уравнений к моделям мобилизации:

  1. 12.2. Приложения теории разностных уравнений к моделям мобилизации
  2. 12.3. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
  3. 4.1. Теории, и модели
  4. 11.1. Модели теории катастроф
  5. 14.3. Приложения клеточных моделей
  6. Очерк XIII ПРАКТИКА КАК ОБЪЕКТ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
  7. § 2. КОНКРЕТИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНЫХ ПОНЯТИЙ КАК МЕТОД ПРИЛОЖЕНИЯ СОЦИОЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
  8. § 21 Монетная единица платежа. – Уравнение ценности при замене одной единицы другой. – Понятие о законной, металлической и курсовой ценности. – Постановления иностранные и русского законодательства об уравнении ценности в платежах.
  9. Мобилизация сотрудников
  10. 51. Объяснение девиантного поведения в теории навешивания ярлыков и с позиции теории социальной солидарности
  11. Статья 336. Уклонение от призыва по мобилизации
  12. Специальные управленческие средства и приемы мобилизации таковы
  13. Раздел 14 - Уголовного Кодекса Украины Преступления в сфере охраны государственной тайны, неприкосновенности государственных границ, обеспечения призыва и мобилизации
  14. Модель личности журналиста: профессиональные, социально-гражданские, нравственные, психологические и социально-демографические характеристики. Модификация общей модели для разных специализаций (репортер, аналитик, расследователь, публицист, ведущий-модератор и т.п.).
  15. § 18 Прекращение обязательств. – Исполнение. – Место и время исполнения. – Срок. – Обязанность очистки или ответственность за недостатки вещи. – Иск об уравнении недостатков.
  16. § 39 Общие положения наследственного порядка. – Наследование в нисходящей линии. – Указная доля дочери. – Уравнение дочерних частей с сыновними. – Преимущество мужчин пе- ред женщинами. – Право представления. – Право сводных детей. – Отличия в Литовском статуте.
  17. Тема 11. Современные теории структурной динамики