<<
>>

Вырожденная социальная сеть

Построим стохастическую модель вырожденной (см. предис- ловие) социальной сети, состоящую из большого числа агентов. Пусть множество допустимых действий Хг = {1,2,...,г} для каждого агента сети состоит из конечного числа г вариантов.
Дей- ствие агента г обозначим через е!г. Выберем в качестве пространства состояний социальной сети Пг декартово произ- ведение множеств допустимых действий[14]: Элемент этого множества ш € Г2Г будем называть состоянием социальной сети. Далее, для построения стохастической модели вырожденной социальной сети необходимо выбрать соответствующую меру на всем пространстве состояний $2Г. Для этого сначала зададим меру на множестве допустимых действий Хг. Как следует из класси- фикации, введенной выше на основании факторов поведения аген- тов, социальная сеть может состоять как из зависимых, так и из независимых агентов. Для вырожденной социальной сети с за- висимыми агентами будем считать, что действие любого агента г характеризуется следующим распределением рр. 2Хг —> [0,1]: где Х]{') — точечная мера, сосредоточенная в точке j £ Хг. По- ведение агента i описывается его склонностью выбирать то или иное действие у с неодинаковой, в общем случае, вероятностью рц. Частным случаем вырожденной социальной сети с зависимыми агентами является социальная сеть с однородными зависимыми агентами, т. е. такими, что = Pj, г = 1,оо. Для вырожденной социальной сети с независимыми агентами будем считать, что действие любого агента i характеризуется сле- дующим распределением рр 2Хг —> [0,1]: т. е. для независимого агента, у которого нет предпочтений, любое действие равновероятно. Существенным для вырожденной сети является то, что в ней отсутствует социальный фактор взаимовлияния, т. е. между аген- тами нет взаимодействий. Чтобы модель удовлетворяла этому критерию, необходимо определить соответствующую меру на про- странстве состояний (1). Сначала определим алгебру Тп = П 2хг на декартовом произ- П ведении п множеств допустимых действий Ч” = 1\ХГ. Чтобы по- та казать, что п агентов действуют независимо друг от друга, зада- дим меру Пп на алгебре Тп через произведение соответствующих распределений действий агентов: Можно показать [105], что существуют ег-алгебра Т на Чг, согласованная с алгебрами Тп, и такая мера П: Д —> [ОД]) чт0 ее конечные распределения равны независимым распределени- ям, т. е. где Аг 6 2Л '. Эта мера характеризует отсутствие взаимозависи- мости между действиями агентов в большой социальной сети, т. е. вырожденность последней. Таким образом, модель конечной вырожденной социальной се- ти описывается вероятностным пространством (0”,Дпп), а мо- дель большой вырожденной социальной сети описывается вероят- ностным пространством (Г2Г,^Г, П).
Стохастическое поведение агентов, с одной стороны, вносит не- определенность в их действия, что приводит к усложнению опи- сания всей сети. С другой стороны, большое количество агентов позволяет описать социальную сеть в целом с помощью неболь- шого количества макрохарактеристик. Как будет показано ниже, произвольность действий агентов описывает большие уклонения состояний со социальной сети (Ог,^Г, П) от ее стационарных со- стояний, которые описываются макрохарактеристиками социаль- ной сети, например, математическим ожиданием действия агента. Для численного описания произвольности и неопределенности по- ведения агента будем использовать одну и ту же функцию — эн- тропию. Понятие энтропии изначально определялось в статистической механике и теории вероятностей как неопределенность опыта, т. е. некий недостаток информации у наблюдателя для определения исхода опыта. Для социальных сетей, где подразумевается, что агенты выбирают те или иные действия, заменим термин «неопре- деленность» поведения на термин «произвольность» поведения. В этом случае акцент смещается на самого агента и не возникает необходимости вводить еще и наблюдателя. Итак, определим чи- сленную характеристику произвольности действий агента г через энтропию Б как функцию от вероятности (2) его индивидуального поведения рр (6) Энтропия (6) принимает максимальное значение, равное 1п (г), когда рц = 1 /г, т. е. агент является независимым, его действия обладают наибольшей произвольностью и описываются распреде- лением р из выражения (3) (см. [10, 92, 96]). Энтропия зависимого агента будет меньше энтропии незави- симого агента на следующую величину: (7) Величина (7) характеризует уменьшение произвольности дей- ствий зависимого агента по отношению к полной произвольно- сти действий независимого. Так как уменьшение произвольности равно приросту зависимости от каких-либо факторов, то величину 1г(рг), определяемую выражением (7), будем называть зависимо- стью [15] агента г. Легко видеть, что зависимость независимого агента равна нулю. Перейдем к описанию произвольности конечной вырожденной социальной сети в целом. По аналогии с выражением (6) опреде- лим энтропию следующим образом: (8) Определения энтропии (6) и (8) связаны между собой следую- щим простым соотношением, называемым свойством аддитивно- сти энтропии [10, 96, 107]: (9) В частности, из свойства аддитивности (9) следует, что энтро- пия (8) достигает своего максимума піп (г), когда вырожденная сеть состоит из независимых агентов. Из (7) и (9) также сле- дует, что «зависимость» конечной вырожденной социальной сети в целом равна сумме зависимостей агентов этой сети: Для однородных вырожденных социальных сетей, где все аген- ты имеют одинаковые индивидуальные предпочтения рц = р:1. і = 1,п, выражение (10) примет следующий вид: (П) Функция п1г из выражения (11) ниже будет получена как ха- рактеристика флуктуаций состояний счетной социальной сети во- круг ее стационарных состояний. Рассмотрим однородную двоичную счетную вырожденную со- циальную сеть, где агенты независимы и выбирают один из двух вариантов (г = 2) действий = { — 1,1}, с пространством состо- яний (12) Выбор действия каждого (независимого) агента і в данном слу- чае описывается следующим равномерным распределением веро- ятностей, получающимся как следствие выражения (3) для прост- ранства (12): (13) где Х-1(') и Х1(‘) — точечные меры на = { — 1,1}, сосредото- ченные в точках —1 и 1 соответственно. Уточним понятия микро- и макропоказателей. Макропоказа- телями будем называть величины, описывающие бесконечную со- циальную сеть, к которым стремятся микропоказатели, являющи- еся характеристиками конечной социальной сети, при стремлении количества агентов к бесконечности. Например, можно условно считать, что в законе больших чисел микропоказателем является среднее арифметическое первых п координат (частичная сумма), а макропоказателем — математическое ожидание. Пространство вероятностных мер Л^1(2^-1,1^), которому при- надлежит распределение (13), изоморфно отрезку [—1,1], а имен- но, любую меру р € Л11(2^-1,1^) можно выразить через число х £ [—1,1] следующим образом: (14) Например, мера (13) получается при х = 0. Так как эта мера описывает выбор действия независимого агента, то х = 0 озна- чает отсутствие предпочтений агентом в ту или другую сторону. Значения I = 1 и I = -1 определяют соответствующие детерми- нированные случаи. Очевидно, что число х является математическим ожиданием действия агента щ по мере ц. Таким образом, математическое ожидание х можно интерпретировать в данном примере как ин- дивидуальные предпочтения агентов. Кроме того, из (14) и (7) следует, что если зависимый агент «смещает» свои индивидуаль- ные предпочтения на ж от 0 в сторону —1 или 1, то его зависимость (7) будет равна (15) причем 01п(0) = 0. График функции (15) приведен на рис. 19, из которого видно, что функция (15) является строго выпуклой на отрезке [—1,1], обладает свойством четности и достигает своего минимального значения 0 в точке х = 0. Назовем частичным средним действием состояния социаль- 1 п ной сети величину зп = — У2 Следующая теорема утверждает, п г=1 что флуктуации тех состояний сети, у которых частичное среднее действие отклоняется от математического ожидания х = 0, экс- поненциально уменьшаются с увеличением п. Причем скорость этого убывания определяется функцией зависимости (15). Утверждение 2.1. Для любого 0 < е ^ 1 и достаточно большого п относительное число состояний со с частичным средним действием sn, отличающимся от математического ожидания О не менее чем на е, экспоненциально мало: lim — ln [П{ц> 6 Cl I |s„| ^ e}] = — min I{x), (16) JWOO n l^\x\^£ где функция I(x) определяется выражением (15). Доказательства всех утверждений второй главы можно найти в [12]. Из выражения (16) и того факта, что min 1(х) >1(0) = О, 1^\х\^£ следует, что для всех достаточно больших п справедливо следую- щее неравенство: ЩшСП\\зп\ ^ е} ^ exp [—n( min 1(х) + !)]• (17) т^|ж|^е Выражение (17) показывает, что для больших социальных се- тей характерна высокая кратность состояний, частичные средние которых находятся вблизи математического ожидания и флукту-
1(х) х Рис. 19. Функция «зависимости» агента в двоичной сети

ации около этого равновесного состояния экспоненциально малы. Кратность этих состояний определяется минимумом функции за- висимости (15). 2.1.

<< | >>
Источник: Д.А. Губанов, Д.А. Новиков, А.Г. Чхартишвили. СОЦИАЛЬНЫЕ СЕТИ: МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРОТИВОБОРСТВА. 2010

Еще по теме Вырожденная социальная сеть:

  1. Сеть атлантических Мастеров
  2. § 6. Договоры на снабжение газом и водой через присоединенную сеть
  3. Телевизионная сеть
  4. Параграф 5. Снабжение энергетическими и другими ресурсами через присоединенную сеть
  5. Веление о вступлении в единую сеть Мастеров Атлантиды
  6. Создайте обширную сеть контактов
  7. Статья 714. Договор снабжения энергетическими и другими ресурсами через присоединенную сеть
  8. 1. Договор на снабжение газом через присоединенную сеть
  9. СМИ как институт демократии. Плюрализм и толерантность в сфере массовой информации, СМИ как канал выражения и согласования социальных интересов. Социальный диалог в СМИ, как средство достижения целей социального консенсуса, согласия, социального партнерства.
  10. 9. Договор снабжения энергетическими и другими ресурсами через присоединенную сеть
  11. § 4. Содержание обязательств по передаче энергии через присоединенную сеть (п. 1960—1964)
  12. 2. Договоры на снабжение водой и прием сточных вод через присоединенную сеть
  13. 34. Социальная организация как вид социальной системы. Типы социальных организаций
  14. РАЗДЕЛ VIII. АМЕРИКАНСКОЕ ОБЩЕСТВО: СОЦИАЛЬНАЯ АПОЛОГИЯ И СОЦИАЛЬНАЯ КРИТИКА
  15. 36. Сущность и причины социального неравенства. Понятие, содержание, основания социальной стратификации
  16. 1.3.2. Функции социологии социальной сферы и уровни организации изучения социальных процессов
  17. Социальная педагогика как часть социальной философии
  18. 3.1.1. Социальное управление как фактор повышения компенсаторных возможностей социальной сферы
  19. 2. Понятие «социальное». Основные подходы к социальному анализу
  20. 28. Теории социального взаимодействия. Концепция социального обмена