<<
>>

Управление элементами матрицы доверия.

В данной работе в основном предполагается, что предметом управления являются мнения агентов. Центр может воздействовать на эти мнения, во- обще говоря, в некоторые моменты времени. В результате этого информационного воздействия результирующие мнения агентов меняются, становятся более желательными для центра.
Однако возможны случаи, когда предметом управления являются не мне- ния агентов, а их взаимное доверие (влияние). Управляя взаим- ным доверием агентов, т. е. элементами матрицы доверия, центр также может добиваться требуемых ему результатов. Для того чтобы построить формальную модель управления до- верим, вспомним, что в отсутствии управления состояние соци- альной сети (т. е. вектор мнений агентов) в момент £ ^ 0 задается соотношением (1) где х° — начальное состояние сети, А — матрица прямого влия- ния размерности п х п. Будем считать, что центр осуществляет управление доверием путем аддитивного изменения матрицы А — увеличения ее на матрицу управлений V = Цц^Ц. Предположим, что эта матрица принадлежит множеству возможных управлений V. Содержательно множество V отражает возможности центра по оказанию воздействия на те или иные связи между агентами, а также общие ресурсные ограничения. Рассмотрим сначала случай, когда воздействие оказывается центром единственный раз в начальный момент времени. Тогда в результате этого воздействия формула (1) приобретает следующий вид: (2) Поскольку добавление матрицы V не должно менять свойство стохастичности матрицы влияния, необходимо наложить следую- щие дополнительные ограничения на ее выбор центром: Обозначим через V множество матриц размерности п х п, удо- влетворяющих условиям (3).

Пусть целевая функция центра Ф(ж4, V) — критерий эффектив- ности управления — зависит от мнений агентов в момент Ь и ма- трицы управлений. Тогда задача управления будет заключаться в выборе допустимой матрицы управлений, максимизирующей кри- терий эффективности: Пример 3.25. Вновь обратимся к социальной сети с тремя агентами, рассмотренной выше в примерах 3.17 и 3.18. Предполо- жим, что центр может в начальный момент изменить (уменьшить либо увеличить) степень доверия второго агента третьему, причем не более чем на заданную константу А, где А ^ min {а, 1 — а}. Таким образом, множество допустимых управлений составляют /о о 0\ матрицы вида V = 0 —v v 1, где |и| ^ А. Предположим, что \0 О О/ центр стремится максимизировать суммарное мнение агентов в фиксированный момент t: Ф = х\ + х\ + Жд —> тах. М^Л Путем непосредственного вычисления нетрудно убедиться, что

Поэтому

Из последнего соотношения ясно, что: — если х% > Жд, то оптимальным для центра является выбор V = —А; — если х% < Жд, то оптимальным для центра является выбор V = Л; — если х® = ж®, то управление центра не влияет на ситу- ацию (формально любое допустимое управление является опти- мальным).

• В более общем случае воздействие на взаимное влияние агентов может оказываться центром в разные моменты времени, причем для каждого момента могут быть свои ограничения. Обозначим множество возможных управлений в момент т че- —Т

рез V , а саму матрицу управлений — через Ут. Тогда матрица влияния в момент і рассчитывается по следующей формуле: а рекуррентная формула вычисления состояния сети приобретает следующий вид: (5) При этом допустимыми на горизонте планирования Т явля- ются лишь такие управления Ут, г = 0,.. ,,Т — 1, для которых все матрицы А\ г = — 1, являются стохастическими по строкам: Обозначим через V(Т) множество конечных последовательно- стей матриц (V°,..Ут_1) размерности п х гг, удовлетворяющих условиям (6).

Соотношение (2) в этом случае приобретает (с учетом (4)) сле- дующий вид: Пусть целевая функция центра зависит от итоговых мнений агентов в момент Т и матриц управления в моменты времени 0, ..Т — 1. Тогда задача управления будет заключаться в вы- боре допустимой последовательности матриц управления, которая максимизирует критерий эффективности: В общем случае задача управления (7) является довольно слож- ной. Формулировка и анализ интересных с содержательной точки зрения частных случаев представляется перспективным направле- нием дальнейших исследований. Следует также отметить следующую особенность управления доверием: если в начальный момент мнения агентов находятся в некотором промежутке, то они и дальше будут находиться в этом промежутке при любом управлении. Сформулируем этот факт в виде утверждения. Доказательство утверждения 3.8. Введем обозначение I для стохастической матрицы, фигурирующей в рекуррентном со- отношении выражения (5): Г* = А? + У*. Будем рассуждать, используя индукцию по С Для £ = 0 соотно- шение (8) выполняется по определению жт;п и жтах. Пусть соотно- шение (8) выполняется для всех г 6 при некотором С Запишем мнение г-го агента в момент Ь + 1, используя элементы матрицы Для правой части последнего соотношения справедлива следу- ющая цепочка неравенств: Последнее соотношение означает, что жт;п ^ ж*+1 ^ жтах. Утверждение 3.8 доказано. Следствие 3.8. Если мнения агентов в начальный момент совпадают, то они не меняются со временем при осуществлении центром управления доверием. Для доказательства следствия 3.8 достаточно в утверждении 3.8 ПОЛОЖИТЬ Жт;п = Жтах. Утверждение 3.8 накладывает серьезные ограничения на воз- можности центра достигать своих целей посредством управления доверием: мнения агентов ни при каком управлении не могут выйти за пределы отрезка [жт;птах]. Однако, наряду с этим, справедливо следующее утверждение. Утверждение 3.9. Если не накладывать ограничения на возможные управляющие воздействия центра, то управление доверием, позволяет за один шаг сделать мнением каждого агента любое наперед заданное значение х* 6 [жтп1, жтах]. Доказательство утверждения 3.9. Если жт;п = жтах, то утверждение очевидно (см. следствие 3.8). Пусть Жтт < Жтах и задано значение ж* € [жт1Шжтах]. Определим величину 7 исходя из соотношения х* = 7Жт;п + (1 — 7)жтах, т. е. Пусть, далее, к £ N и I Е N такие числа, что ж^ = жт;п и Х1 = жтах. Определим матрицу управления V = \\vijW следующим образом: для всех г € N хр, = у ~Щк, Щ1 = 1—'у — ац, хц = -а^, 1£К\{к,1}. Тогда все элементы вектор-столбца ж1 = {А + V)х равны ж*, поскольку для любого г 6 Таким образом, за один шаг удалось сделать «единогласным» мнением агентов величину ж*. Утверждение 3.9 доказано. В заключение данного параграфа подчеркнем, что раздельное рассмотрение управления мнениями и управления доверием обу- словлено удобством их теоретического изучения, в то время как на практике оба эти вида управления должны применяться (и применяются) совместно. Поэтому перспективным направлением дальнейших исследований представляется разработка моделей од- новременного управления мнениями агентов (см. § 3.2 и 3.3) и их доверием/репутацией друг другу (см. §3.1, 3.4 и 3.5). 3.5.

<< | >>
Источник: Д.А. Губанов, Д.А. Новиков, А.Г. Чхартишвили. СОЦИАЛЬНЫЕ СЕТИ: МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРОТИВОБОРСТВА. 2010

Еще по теме Управление элементами матрицы доверия.:

  1. § 3. Элементы обязательства доверительного управления
  2. МАТРИЦА ПРОГРЕССИВНАЯ РАВЕНА
  3. МАТРИЦА ЭМОЦИОНАЛЬНАЯ
  4. МАТРИЦЫ:
  5. Сценарная матрица
  6. Сценарная матрица
  7. 1.3. Рефлективная матрица
  8. МАТРИЦА ИСЦЕЛЕНИЯ
  9. МАТРИЦА
  10. Первый этап - ПОСТРОЕНИЕ ПЕРВИЧНОЙ МАТРИЦЫ.
  11. Статья 1040. Обращение взыскания на имущество, переданное в управление, по требованию кредитора установщика управления
  12. Полное доверие
  13. Айсберги доверия
  14. ШЕСТЬ УРОВНЕЙ ДОВЕРИЯ
  15. 2. Крах доверия
  16. а) Доверие к свидетельским показаниям
  17. 1. Ей нужна забота, ему — доверие
  18. Страх — это отсутствие доверия