<<
>>

Структура результирующих влияний.

Для описания струк- туры результирующих влияний мы используем известные резуль- таты, полученные при исследовании конечных цепей Маркова (см., например, [48]). Для этого установим соответствие между введен- ными нами понятиями и понятиями теории марковских цепей сле- дующим образом: • агент — состояние марковской цепи; • степень доверия — вероятность перехода из одного состояния в другое; • матрица прямых доверий — матрица переходных вероятно- стей; • косвенное доверие — достижимость; • группа — неразложимый класс существенных состояний; • спутник — несущественное состояние. Далее, будем считать выполненным следующее Условие 1. В каждой группе существует хотя бы один агент i 6 ./V, для которого ац > 0. Иными словами, в каждой группе хотя бы один агент хоть сколько-нибудь доверяет своему мнению. В этом случае каждой группе соответствует (в теории марков- ских цепей) неразложимый апериодический класс. Поэтому спра- ведливы следующие утверждения, являющееся следствием извест- ных фактов в теории цепей Маркова (подчеркнем, что условие 1 здесь и далее будем считать выполненным, если явно не оговорено обратное). Утверждение 3.1. Существует матрица результирую- щих влияний — предел А°° = lim (А)Т. т —^ОО Утверждение 3.2. Мнения агентов стабилизируются, т. е. существует предел X = lim хТ. Т—^ ОО Утверждение 3.3. Результирующее влияние любого спут- ника на любого агента равно нулю. Это, в частности, означа- ет, что начальные мнения спутников не оказывают никакого влияния на итоговые мнения каких-либо агентов. Утверждение 3.4. В матрице результирующих влияний строки, соответствующие членам одной группы, совпадают. Это, в свою очередь, означает, что совпадают итоговые мне- ния агентов, т. е. каждая группа имеет общее мнение, кото- рое можно считать мнением группы. Отметим, что утверждение 3.4 соответствует наблюдениям со- циальных психологов: в группе ее участники, испытывая инфор- мационное влияние, приходят к консенсусу [50]. Таким образом, структура результирующих влияний в соци- альной сети выглядит следующим образом (рис. 27). Имеется не- которое количество групп, в каждой из которых итоговые мнения
Рис.. 27. Структура графа результирующих влияний

агентов совпадают (имеет место консенсус) и не зависят от на- чальных мнений агентов, не входящих в данную группу. Осталь- ные агенты являются спутниками, их итоговые мнения полностью определяются мнением одной или нескольких групп. Как уже было отмечено, каждый агент из группы является су- щественным состоянием в терминологии теории конечных це- пей Маркова [17] [22, 48, 100]. Из этой теории известно, что если у процесса имеется несколько неразложимых классов существен- ных состояний (которые соответствуют нашему понятию групп), то матрица переходов А может быть представлена в виде

где А( — соответствует матрице переходов внутри группы I (не- разложимые стохастические матрицы), I = 1,к, к — число не- разложимых классов, I — матрица, описывающая влияние группы I на спутников, Л — матрица влияний спутников друг на друга. Если конечный марковский процесс оказывается в каком-либо существенном состоянии из класса Ар то далее возможны суще- ственные состояния только из этого же класса.

При этом возврат в это же существенное состояние возможен через какое-то число ша- гов (которое, очевидно, не превышает число состояний в данном классе). Минимальное число шагов, через которое процесс, выйдя из существенного состояния, может вернуться в него, называется периодом состояния, которой в описываемой модели социальной сети будет длиной минимального цикла в графе, описываемого ма- трицей Ар проходящего через агента, соответствующего данному существенному состоянию. Наибольший общий делитель периодов всех существенных со- стояний из одного класса называется цикличностью класса [48]. Данная характеристика является крайне важной, так как необходимым и достаточным условием сходимости мнений вну- три отдельной группы I является ацикличность (или примитив- ность по Колмогорову [22]) матрицы взаимовлияний агентов дан- ной группы: ё,1 = 1. В [32] было показано, что достаточным условием сходимости мнений внутри отдельно взятой группы является наличие в ней хотя бы одного агента, который хоть немного доверяет себе. Легко убедиться, что матрица взаимовлияний данной группы ациклич- на, так как длинна минимального цикла для данного агента бу- дет равна единице. Если все неразложимые классы в матрице А ацикличны, то матрица называется простой. Если в простой ма- трице А есть только один неразложимый класс, то такая матрица называется регулярной [22, 48]. Далее для простоты иногда (оговаривая это в каждом конкрет- ном случае) будем предполагать, что все элементы стохастической матрицы прямого влияния А строго положительны. Если все члены социальной сети образуют одну группу, это является до- статочным условием регулярности. Отметим, что даже в рамках этого достаточно сильного предположения нельзя гарантировать, что мнения агентов сойдутся за конечное время. Известно, что для регулярной матрицы А каждая строка ма- трицы А°° представляет из себя один и тот же вероятностный П положительный вектор а = (од,..., ап): ^ од = 1, Vг £ {1,..., п} г=1 ад > 0. Более того, этот вектор является решением уравнения а А = а, которое в силу регулярности матрицы А имеет един- ственное решение [22, 48]. Вектор а известен как финальное или предельное распределение регулярной цепи Маркова [48]. При заданном векторе начальных мнений х° итоговым мне- нием каждого агента будет ах°. Поэтому, с точки зрения рас- сматриваемой модели, величина оц может трактоваться как влия- тельность г-го агента, так как она определяет, насколько сильно его начальное мнение отражается в итоговом. Также очевидным является тот интересный факт, что \/т = 1,2,... выполнено ра- венство ах° = ахТ, где хт = (А)тх®. Из этого факта следует, что для V о £ Ж1 можно определить область притяжения — множество начальных мнений, из ко- топых достижимо данное значение как консенсус гпуппы X = Причем Va,6 £ Ж1, а Ф Ь, Х(а) П Х(Ъ) = 0, из любого век- тора начальных мнений возможно достижение лишь одного век- тора итогового мнений. Геометрические интерпретации данного утверждения тесно связаны с условием, фигурирующим в форму- лировке утверждения З.бв), приведенного в §3.2. В качестве отступления отметим, что задача определения относительного влияния агентов в социальной сети (анализ уравнений типа а А = а), чрезвычайно близка в определенном смысле к так называемой задаче ранжирования Интернет- страниц (PageRank problem); см., например, обзоры в [161, 162, 208]. Возникает вопрос об информированности самих агентов о со- здавшейся ситуации. Знает ли агент, является ли он членом одной из групп либо спутником? Логично считать, что каждый агент в каждый момент времени знает свое мнение, мнение тех агентов, кому он доверяет, а также степень своего доверия каждому их них (здесь идет речь о прямом доверии). Если агент знает, что его итоговое мнение не совпадает с мнением тех, кому он доверяет, то он является спутником и знает это. В то же время, если итоговые мнения агента и тех, кому он доверяет, совпадают, то агент может быть как членом группы, так и спутником.
<< | >>
Источник: Д.А. Губанов, Д.А. Новиков, А.Г. Чхартишвили. СОЦИАЛЬНЫЕ СЕТИ: МОДЕЛИ ИНФОРМАЦИОННОГО ВЛИЯНИЯ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРОТИВОБОРСТВА. 2010

Еще по теме Структура результирующих влияний.:

  1. СТРУКТУРА ЛИДЕРСТВА И ВЛИЯНИЯ В НУКЛЕАРНОЙ СЕМЬЕ
  2. ВЛИЯНИЕ
  3. ВЛИЯНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РОЛЕВОЕ
  4. ВЛИЯНИЕ ПРЕДКОВ
  5. ВЛИЯНИЕ ПРЕДКОВ
  6. Влияние исследователя на ответы респондента
  7. ВЛИЯНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНО-СПЕЦИФИЧЕСКОЕ
  8. Влияние прародителей
  9. Влияние прародителей
  10. Влияние чередования аспектов
  11. Влияние группы
  12. Влияние планет в качестве Ауриги