<<
>>

Краткие сведения Описание физических процессов в приближении сплошной среды

Наиболее удобные способы наглядного изображения электрического поля связаны с двумя взаимодополняющими картинами: силовых линий и линий равного потенциала. Для построения эквипотенциальных линий (в трехмерном случае — поверхностей) поля, созданного системой зарядов, можно воспользоваться принципом суперпозиции: потенциалы полей, созданных разными зарядами, алгебраически складываются.
Поскольку потенциал поля, созданного зарядом д на расстоянии г от

него, равен

В задачах моделирования достаточно стандартная проблема — построение линий (поверхностей), вдоль которых некоторая функция имеет одинаковое значение, называемых изолиниями (изоповерхностями). Это очень распространенная задача визуализации характеристик некоторого скалярного поля в приближении сплошной среды.

. Пусть поле создается системой точечных электрических зарядов (?,, ..., (^с координатами соответственно (х1? у}), ..., (хр, ур). Типичная процедура построения изолиний на экране компьютера состоит в следующем. Выберем по осям х и у некоторые шаги кх и ку и покроем плоскость сеткой, образованной прямыми, параллельными осям х и у и отстоящими друг от друга на расстояниях кхи ку соответственно. Точки пересечения этих прямых — узлы сетки. Пронумеруем их так: начало координат (0,0), следующий по оси х вправо — (0,1), влево — (0,-1); по оси у вверх — (1,0), вниз (—1,0) и т.д. Значения потенциала, создаваемого системой зарядов (?,, ..., ()р в узле (/, к), согласно принципу суперпозиции, таково (обратим внимание, что здесь и ниже / — номер строки, к — номер столбца сетки): (7.22) Ограничимся прямоугольной областью в плоскости ху: [~тИх, ткх] по оси х и [— пку, пку\ по оси у.
В этой области (2т + 1)(2я+1) узлов. Вычислим значения потенциала в каждом из них по указанным формулам. В результате получим матрицу значений потенциала. Фиксируем некоторое значение потенциала Ф и построим изолинию, соответствующую этому значению. Для этого проходим, к примеру, по /-й горизонтальной линии сетки и ищем среди ее узлов такие соседние значения потенциала, в которых «захватывают» Ф между собой; признаком этого может служить выполнение неравенства (Ф¡к - Ф)(Фа+1 - Ф) < 0. Если такая пара узлов найдена, то координату точки, в которой Ф = Ф , найдем приближенно с помощью линейной интерполяции: (7.23) Найдя в данной горизонтали все такие точки, перейдем к следующей горизонтали, пока не исчерпаем их все. Для этого надо совершить двойной циклический проход: во внешнем цикле перебирать / от — п до +я, во внутреннем перебирать к от — т до +т. После этого следует аналогично заняться поиском нужных точек на вертикальных линиях сетки. Детали процедуры очевидны; формулы, аналогичные (7.23), имеют вид После прохождения всех горизонтальных и вертикальных линий сетки находятся все те точки на этих линиях, в которых потенциал равен Ф. Проведя — мысленно или на экране (или на бумаге) — кривую, плавно проходящую через ближайшие точки (прибегая, например, к интерполяции сплайнами), получим искомую изолинию (разумеется, лишь в том случае, если значение Ф выбрано разумно и такая линия есть в пределах рассматриваемой области). Затем берем другие значения Ф и повторяем указанную процедуру, получая таким образом семейство изолиний. Один из способов построения объемной картины электрического поля состоит в том, чтобы построить системы изолиний в нескольких параллельных равноотстоящих плоскостях для одного и того же набора значений потенциала. Квазитрехмерная картина совокупности указанных плоскостей с изображенными на них изолиниями создает представление об объемной структуре электрического поля.
Для построения изолиний поля, созданного однородно заряженными нитями, пластинами, можно представить их как совокупности большого числа одинаковых «точечных зарядов», в совокупности воспроизводящих форму нити или пластины. Процесс теплопроводности возникает, если тело неоднородно нагрето. Простейшая для изучения теплопроводности система — линейный однородный стержень (рис. 7.5). В простой модели боковая поверхность стержня считается теплоизолированной, т. е. через нее нет обмена теплом с окружающей средой. Обозначим температуру стержня в точке с координатой х в момент времени t через и(х,/). Уравнение теплопроводности имеет вид (7.25) где а — коэффициент температуропроводности, зависящий в первую очередь от вещества, из которого сделан стержень. Уравнение теплопроводности сопровождается начальными и краевыми условиями, делающими постановку задачи физически однозначной. Начальное условие задает распределение температуры в стержне в начальный момент времени (считаем его равным нулю): и{х, 0)=/(х). (7.26) Краевые условия (их должно быть в данном случае два) указывают в простейшем варианте, какая температура поддерживается на концах стержня: и(0,0 = и |*=0 = «о(0> «(/,/) = и \х=1 = й,(г). (7.27)

* Рис.

7.5. К вопросу о теплопроводности стержня Моделирование процесса теплопроводности связано с дискретизацией как временного изменения температуры, так и пространственного. Если для пространственных производных использовать простейшие центрально-разностные аппроксимации, а по времени — схему Эйлера, то величины и* = и^к,х) находятся из системы линейных алгебраических уравнений (7.28) к = 0, 1, ...; / = 1, 2, ..., п — 1 — для внутренних узлов пространственной сетки; в силу начального условия и/0) = /(*,■). Шаг по времени обозначен А/, по пространству — Ах. Описанный метод устойчив при выполнении условия

(7.29) Это система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей. Для ее решения наиболее эффективен метод прогонки. Другие численные схемы решения одномерной задачи теплопроводности можно найти в специальной литературе.

<< | >>
Источник: Могилев А. В.. Практикум по информатике. 2005

Еще по теме Краткие сведения Описание физических процессов в приближении сплошной среды:

  1. 1. Краткие общие сведения
  2. 1. Краткие общие сведения
  3. Краткое описание рабочего кабинета
  4. Краткое описание системы метафизических верований
  5. 2. Воспитательный процесс в семье нельзя приостановить, как нельзя приостановить приближение весны
  6. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  7. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  8. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  9. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  10. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  11. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  12. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  13. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  14. Описание консультативного и психотерапевтического процессов
  15. Описание консультативного и психотерапевтического процесса
  16. Статья 422. Разглашение сведений военного характера, составляющих государственную тайну, или потеря документов или материалов, содержащих такие сведения
  17. 16.3. Перечни сведений, составляющих государственную тайну, и сведения, которые не могут относиться к государственной тайне
  18. 1.5. Сплошное и выборочное исследования
  19. Приближение (аппликация)
  20. ГЛАВА 3 Приближение к судьбе