Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"
dx/dt = -х3 +Ьх+а. (13.1)
При варьировании значений параметров а и & поведение системы (число стационарных точек, их расположение) будет также меняться.
Для изучения качественного характера этих изменений рассмотрим потенциальную функциюF(x,a,b) = х4 /4 - bx2 /2 - ах.
Заметим, что -dF/дх = -х* +bx+a. Ha рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.
На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кривая (4Ь3 - 27а2). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две части. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один минимум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функции F можно определить, приравняв нулю первую производную:
х3-Ьх-а = 0. (13.2)
Целесообразно также провести исследование функции г, построив серию графиков при фиксированных значениях у из интервала (-5;5).
Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазового портрета на плоскости являются положения равновесия и предельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения равновесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый портрет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений параметров происходит бифуркация — меняется топологическая структура фазового портрета. Качественное исследование динамической системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества бифуркационных значений параметров.
Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение равновесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех — неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.
Если в процессе изменения системы параметр подходит к бифуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равновесия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.
Ситуация возникновения предельного цикла может быть проиллюстрирована следующей системой уравнений:
\dr/dt = Kr-r3; (135) [dy/dt = с,
где с — константа, гиф — полярные координаты (х = rcos ср; j/ = rsintp). Если А, < О, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и становится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фокус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >/Х [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,
что независимо от начального состояния система достаточно быстро перейдет в режим периодических колебаний (автоколебательный режим).
Рис. 13.3. Рождение цикла |
Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными циклами. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается устойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго варианта при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равновесия — фокусу (рис.
13.4).
Рис. 13.4. Гибель цикла
В первом варианте после потери устойчивости положения равновесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система уходит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчивости) и переходит на другой режим движения [1].
Множество точек, к которым притягиваются траектории автономных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов — особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-
личины с течением времени выходят на постоянные значения, во втором — на периодический режим.
При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возможно возникновение странных аттракторов.
Еще по теме Глава 13. Модели хаоса и катастроф 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка":
- 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"
- Глава 13. Модели хаоса и катастроф
- 11.1. Модели теории катастроф
- "Часовое" и "целевое" время
- Глава 4 Шесть способов поднять ваш "КЭ"
- "Мягкие" и "твердые" данные
- Глава 27 "В такой дом хочется возвращаться"
- Глава 12 Как стать счастливой "перекати-поле"
- ГЛАВА ПЕРВАЯ ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СИЛА "Я"
- Глава 22 "Она была так мила"