<<
>>

13.1. Математическая модель катастрофы "сборка"

Рассмотрим основные положения теории катастроф на примере катастрофы "сборка", которой соответствует дифференциальное уравнение

dx/dt = -х3 +Ьх+а. (13.1)

При варьировании значений параметров а и & поведение системы (число стационарных точек, их расположение) будет также меняться.

Для изучения качественного характера этих изменений рассмотрим потенциальную функцию

F(x,a,b) = х4 /4 - bx2 /2 - ах.

Заметим, что -dF/дх = -х* +bx+a. Ha рис. 13.1 приведены двухмерные графики, характеризующие поведение функции F.

На рис 13.1,а изображена так называемая бифуркационная кривая (4Ь3 - 27а2). Эта кривая разделяет плоскость (а, Ь) на две части. Внутри кривой функция F имеет два минимума (рис. 13.1,6). За пределами этой кривой функция F имеет только один минимум (рис. 13.1,в). Как известно, экстремальные значения функции F можно определить, приравняв нулю первую производную:

х3-Ьх-а = 0. (13.2)

Целесообразно также провести исследование функции г, построив серию графиков при фиксированных значениях у из интервала (-5;5).

Как указывалось в § 12.3, основными характеристиками фазового портрета на плоскости являются положения равновесия и предельные циклы. Сепаратрисы связывают седловые положения равновесия с особыми точками и предельными циклами. Если менять параметры структурно-устойчивой системы, то ее фазовый портрет будет также меняться, но его топологическая структура в определенном диапазоне значений параметра будет оставаться постоянной. При достижении критических значений параметров происходит бифуркация — меняется топологическая структура фазового портрета. Качественное исследование динамической системы, зависящей от параметров, предполагает описание всех возможных в ней бифуркаций и определение множества бифуркационных значений параметров.

Рассмотрим системы, зависящие от одного параметра. Вернемся к рис. 12.5, на котором изображены типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия. В двух случаях положение равновесия является устойчивым: устойчивые фокус и седло, и в трех — неустойчивым: седло и неустойчивые узел и фокус.

Если в процессе изменения системы параметр подходит к бифуркационному значению, то либо два положения равновесия сливаются и "умирают" (система совершает скачок, перескочив на другой режим), либо "рождается" пара положений равновесия. Причем из двух положений равновесия одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Ситуация возникновения предельного цикла может быть проиллюстрирована следующей системой уравнений:

\dr/dt = Kr-r3; (135) [dy/dt = с,

где с — константа, гиф — полярные координаты (х = rcos ср; j/ = rsintp). Если А, < О, то динамическая система (13.5) имеет один устойчивый фокус. Если параметр А. изменяется и становится положительным, то происходит бифуркация Хопфа, фокус теряет устойчивость и в системе возникает устойчивый предельный цикл с радиусом >/Х [1]. Фазовый портрет системы (13.5) в этом случае будет состоять из траекторий, изнутри и снаружи "наматывающихся" на предельный цикл. Это означает,

что независимо от начального состояния система достаточно быстро перейдет в режим периодических колебаний (автоколебательный режим).

Рис. 13.3. Рождение цикла

Рассмотрим бифуркации, связанные с предельными циклами. В этом случае возможны два варианта. При первом варианте из устойчивого фокуса при изменении параметра рождается устойчивый предельный цикл (рис. 13.3). В случае второго варианта при изменении параметра неустойчивый предельный цикл исчезает, и его неустойчивость передается положению равновесия — фокусу (рис. 13.4).

Рис. 13.4. Гибель цикла

В первом варианте после потери устойчивости положения равновесия устанавливается колебательный периодический режим (мягкая потеря устойчивости). Во втором варианте система уходит со стационарного режима скачком (жесткая потеря устойчивости) и переходит на другой режим движения [1].

Множество точек, к которым притягиваются траектории автономных систем, называется аттрактором. Для систем с двумя переменными существует только два типа аттракторов — особая точка и предельный цикл. В первом случае все изучаемые ве-

личины с течением времени выходят на постоянные значения, во втором — на периодический режим.

При количестве переменных в системе N > 3 и наличии в правой части только линейных и квадратичных членов возможно возникновение странных аттракторов.

<< | >>
Источник: Ю.М. Плотинский. Модели социальных процессов. 2001

Еще по теме 13.1. Математическая модель катастрофы "сборка":

  1. Глава 13. Модели хаоса и катастроф
  2. 11.1. Модели теории катастроф
  3. Сборка ванны
  4. II. 1. ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИСТЕМНЫХ ОПИСАНИЙ
  5. II. 2. 4. Раздвоение математических объектов.
  6. СТАТИСТИКА МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
  7. Катастрофа
  8. Создавайте себе катастрофы
  9. Эволюция или катастрофа?
  10. Модель личности журналиста: профессиональные, социально-гражданские, нравственные, психологические и социально-демографические характеристики. Модификация общей модели для разных специализаций (репортер, аналитик, расследователь, публицист, ведущий-модератор и т.п.).
  11. МОДЕЛЬ ИНФОРМАЦИОННАЯ
  12. 2. Полезная модель.
  13. Тема 6. Модели жизненного цикла
  14. МОДЕЛЬ ОБРАЗНО-КОНЦЕПТУАЛЬНАЯ
  15. 3. Патентоспособность полезной модели
  16. 3. МОДЕЛИ ДЕМОКРАТИИ
  17. Модель SOAR
  18. 2. Патентоспособность изобретения, полезной модели
  19. Тема 7. Модели волновой динамики