Равносильные логические выражения
Пример: Докажем, что -A&-B = -(A v B).
A | B | -A | -B | -A&-B | AvB | -(AvB) |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Таблицы истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны: -А&-В = -(А V В).
Импликация и эквиваленция. В обыденной и научной речи кро- ме базовых логических связок «И», «ИЛИ», «НЕ», используются и
некоторые другие: «ЕСЛИ..., ТО...», «ТОГДА... И ТОЛЬКО
ТОГДА, КОГДА...» и др. Некоторые из них имеют свое название и свой символ и им соответствуют определенные логические функ- ции.
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ..., ТО...». Логическая операция импликации «ЕСЛИ А, ТО В», обо- значается А ® В.
Таблица истинности логической функции импликация приведена ниже.А | В | А ® В |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).
Например:
1) высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 5» истинно, так как истинны и первое высказывание (предпосылка), и второе высказывание (вывод);
2) высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» ложно, так как из истинной предпосылки делается ложный вы- вод.
Однако операция логического следования несколько отличает- ся от обычного понимания слова «следует». Если первое высказывание (предпосылка) ложно, то вне зависимости от истин- ности или ложности второго высказывания (вывода) составное высказывание истинно. Это можно понимать таким образом, что из неверной предпосылки может следовать что угодно.
В алгебре высказываний все логические функции могут быть сведены путем логических преобразований к трем базовым: логиче- скому умножению, логическому сложению и логическому отрицанию.
Докажем с помощью сравнения таблиц истинности, что опера- ция импликации А ® В равносильна логическому выражению
-А V В. Таблица истинности логических выражений -А V В и А ® В приведена ниже.
А | В | -А | -А V В | А ® В |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Из вышеприведенной таблицы видно, что -А V В = А ® В, что и требовалось доказать.
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соедине- нием двух высказываний в одно с помощью оборота речи «... ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА...». Логическая операция эквивалентности «А ЭКВИВАЛЕНТНО В» обозначается А ~ В и выражается с помощью логической функции, которая задается со- ответствующей таблицей истинности.
А | В | А~ В |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Рассмотрим, например, два высказывания А = «Компьютер может производить вычисления» и В = «Компьютер включен».
Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, истинно, когда оба высказывания либо истинны, либо ложны.
1) «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».
2) «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».
Составное высказывание, полученное с помощью операции эквивалентности, ложно, когда одно высказывание истинно, а дру- гое - ложно.
1) «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер не включен».
2) «Компьютер не может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включен».
1.4.2.
Еще по теме Равносильные логические выражения:
- Логическое ударение
- МЫШЛЕНИЕ СЛОВЕСНО-ЛОГИЧЕСКОЕ
- Логическая последовательность вопросов
- 3.2.4. Логический анализ основных понятий
- 3.9. Логические ошибки
- По единому логическому основанию
- Логические ошибки вопроса
- 3.3. Логический контроль анкеты
- 1.3. Логическая структура вопроса
- Словесно-логическая память
- Схема логических уровней
- Интуитивно-логический темперамент(ИТ)
- Ответ на вопрос - это всегда восприятие его содержания в некотором логическом контексте рассуждений респондента.
- Разговорные фразы и выражения
- Разговорные фразы и выражения
- Правило выражения глаз
- Код выражения лица
- Код выражения лица
- Код выражения лица
- Код выражения лица