<<
>>

Позиционные системы счисления

При работе с данными, относящимися к различным типам, очень важно унифицировать форму их представления - для этого обычно используется при- ем кодирования, то есть выражение данных одного типа через данные другого типа.
В качестве примеров можно привести телеграфный код Морзе, морскую флажковую азбуку, систему Брайля для слабовидящих людей. Совокупность приемов кодирования и наименования чисел называется системой счисления.

Числа кодируются с помощью символов. В зависимости от количества используемых символов выделяют позиционные и непозиционные системы счисления. Если для кодирования числа используется бесконечное множество символов, то система счисления называется непозиционной, например, римская система счисления. Бесконечный ряд чисел потребует бесконечного числа сим- волов для записи римских чисел. Кроме того, такой способ записи чисел приво- дит к очень сложным правилам арифметики.

Позиционные системы счисления для кодирования чисел используют ог- раниченный набор символов, называемых цифрами, и величина числа зависит не только от набора цифр, но и от того, в какой последовательности они запи- саны.

Количество цифр, используемых для записи числа, называется основани- ем системы счисления.

Рисунок 1.3 - Примеры кодирования слова «COMPUTER»

в различных системах

Имена числительные во многих языках указывают на то, что у первобыт- ного человека кодирование чисел осуществлялось преимущественно с помо- щью пальцев. Не случайно в древнерусской нумерации единицы называются «перстами», десятки - «составами», а все остальные числа - «сочинениями». По словам знаменитого русского путешественника Н. И. Миклухо-Маклая ту- земцы Новой Гвинеи считали так: «...папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, «бе, бе, бе...».

Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе», что значит рука. Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе...», пока не доходит до «ибон-али», что означает две руки. Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе.», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али», что означает одна нога и две ноги. Если нужно счи- тать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

От пальцевого счета берет начало пятеричная и десятеричная системы счисления. Именно эти системы счисления наиболее понятны человеку, потому что с рождения постигать счет приходится с помощью рук.

Однако существуют и другие системы счисления, успешно реализующие- ся в отдельных отраслях техники, науки и культуры.

Томас Гэрриот впервые в мире подробно описал двоичную систему счис- ления, ставшую основной системой счисления, применяемой в компьютере.

Стостраничная рукопись начинается оставленной без комментариев таблицей, содержащей представления целых чисел вида 2N с помощью знаков «+» и «-».

Вильгельм Готфрид Лейбниц также занимался исследованием свойств двоичной системы счисления. Он придавал ей мистический смысл и считал, что на ее базе можно создать универсальный язык для объяснения явлений мира и использования во всех науках, в том числе в философии.

Джордж Буль на основе двоичной системы счисления разработал раздел математической логики, занимающийся анализом высказываний, которые мо- гут быть либо истинными, либо ложными. При этом высказывания должны строиться с помощью булевых функций, наиболее известными из которых яв- ляются конъюнкция («Логическое И»), дизъюнкция («Логическое ИЛИ»), от- рицание («Логическое НЕ»), импликация («Следование»). Для того чтобы разо- браться с этими функциями, построим таблицы истинности и диаграммы Эйле- ра, приведенные на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Булевы функции

Прокомментируем каждую из этих булевых функций с помощью двух множеств a и b, которые могут принимать как истинные, так и ложные значе- ния.

Если над множествами a и b выполнить булеву функцию «Логическое И», то результат функции принимает истинное значение только тогда, когда оба значения множеств a и b истинные. Если над множествами a и b выполнить бу- леву функцию «Логическое ИЛИ», то результат функции принимает истинное значение только тогда, когда хотя бы одно значение множеств a и b истинное. Если над множеством a выполнить булеву функцию «Логическое НЕ», то ре- зультат функции принимает истинное значение тогда, когда значение множест- ва a ложное, и результат функции принимает ложное значение тогда, когда зна- чение множества a истинное. Если над множествами a и b выполнить булеву функцию «Следование», то результат функции принимает ложное значение только тогда, когда значение множества a истинное, а значение множества b ложное.

Двоичная система счисления получила широкое распространение в вы- числительной технике из-за того, что имеет два устойчивых состояния: «0» и «1», что соответствует отсутствию и наличию электрического сигнала. Чарльз Бэббидж одним из первых предложил использовать наряду с другими система- ми счисления систему счисления по основанию два в своей аналитической ма- шине для счета, которая, к сожалению, не была реализована.

Следовательно, возникает парадоксальная ситуация, двоичная система счисления неудобна для восприятия человеком, но эффективно применяется в вычислительных машинах. Более привычна для пользователя десятичная сис- тема счисления, но работа с десятичными числами в вычислительных машинах громоздка и сложна.

Первым решил данную проблему Конрад Цузе при проектировании элек- тромеханической вычислительной машины Z-1. Он разделил операции обра- ботки данных и операции представления результатов вычислений. Для этого вычислительная машина Z-1 выполняла обработку вещественных чисел, пред- ставленных в двоичной системе счисления, а входные и выходные устройства машины преобразовывали числа из десятичной системы счисления в двоичную систему и обратно.

Пример перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную систему и обратно представлен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Пример преобразования из десятичной системы счисления

в двоичную систему и обратно

Целые десятичные числа кодируются двоичным кодом. Для этого нужно взять целое число и делить его пополам до тех пор, пока в остатке не образует- ся нуль или единица. Совокупность остатков от каждого деления, записанная слева направо, начиная с последнего остатка, и образует двоичный аналог деся- тичного числа.

Если необходимо двоичные числа закодировать десятичными, то необхо- димо найти сумму каждого значащего разряда двоичного числа, умноженного на число два в степени, равной порядковому номеру разряда, начиная с нуля.

Можно заметить, что, несмотря на многофункциональность двоичного кода, его запись очень громоздка. Для устранения этого недостатка применяют восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Восьмеричная система счисления имеет восемь знаков: 01 2 3 4 5 6 7. Шестнадцатеричная система счисления использует для представления чисел шестнадцать знаков: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.

Рисунок 1.6 - Представление чисел в различных системах счисления

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную систему осу- ществляется очень просто. Все разряды двоичного числа разделяются на триа- ды, начиная справа, причем каждой триаде соответствует определенный знак восьмеричной системы.

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему осуществляется аналогично. Все разряды двоичного числа разделяются уже на четверки, начиная справа, причем каждой четверке соответствует определен- ный знак шестнадцатеричной системы. Сопоставление чисел двоичной системы счисления числам восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной систем счисления представлено на рисунке 1.6. На рисунке 1.7 представлен пример пе- ревода двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счис- ления.

Рисунок 1.7 - Перевод двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления

Для преобразования десятичного числа в восьмеричную или шестнадца- теричную систему счисления необходимо сначала перевести десятичное число в двоичную форму, а затем сделать преобразование двоичного числа в восьме- ричную или шестнадцатеричную систему. Аналогично осуществляется перевод восьмеричного или шестнадцатеричного числа в десятичную систему счисле- ния.

1.3

<< | >>
Источник: А. Г. Зрюмова, Е. А. Зрюмов, С. П. Пронин. ИНФОРМАТИКА. 2011

Еще по теме Позиционные системы счисления:

  1. § 31 Понятие о роде, степени, линии и колене. – Линии прямые (восходящая, нисходящая) и боковые. – Счисление степеней и названия родства. – Родные полнородные и неполнородные. – Свойство двухродное и трехродное и счисление степеней его. – Римская и германская системы счисления родства.
  2. § 39 Классификация договоров в отдельных видах. – Римская классификация. – Система прусского закона, французского и австрийского кодекса. – Система русского свода. – Система настоящего изложения.
  3. Тема 15 Правова система і система права. Система законодавства та систематизація нормативно-правових актів
  4. Глава 4. Система права и система законодательства
  5. §5. Система военных судов в РФ как часть системы судов общей юрисдикции
  6. Единство и взаимосвязь правовой системы и системы правового общества
  7. § 33 Общее правило о переходе наследства к детям. – Отличие отделенных от неотделенных. – Право представления. – Право родительское. – Право боковых родственников. – Римская система определения прав по классам и степеням. – Германская система определения прав по линиям и коленам.
  8. § 1.3. Система трудового права і система трудового законодавства
  9. § 14 Отношения супругов по имуществу. – Германское начало общения имуществ в браке и римская система приданого. – Особое имущество жены. – Разнообразные системы западных законодательств. – Раздел имуществ по прекращении брака. – Ограничения брачных договоров и сделок между супругами. – Английский закон об отношениях супругов по имуществу.
  10. § 34 Смешанные системы в новейших законодательствах. – Происходящее от различия сих систем различие в порядке раздела и в допущении права представления. – Ограничение наследственного права пределами родства. – Ограничение женщин. – Разделение наследства между родами. – Возвращение подаренного родителями. – Наследование супругов и незаконных детей и родителей. – Закон наследования в Англии.
  11. СИСТЕМА
  12. СИСТЕМА НЕРВНАЯ
  13. Тема 20. Смешанные правовые системы
  14. СИСТЕМА ТЕЙЛОРА
  15. 3. Система законодавства
  16. СИСТЕМА ЭРРАТИЧЕСКАЯ
  17. СИСТЕМА ИНДИКАЦИИ
  18. СИСТЕМА ВЕСТИБУЛЯРНАЯ